Halaman
Kelas XII SMA/MAiiHak Cipta © 2015 pada Kementerian Pendidikan dan KebudayaanDilindungi Undang-UndangMILIK NEGARATIDAK DIPERDAGANGKANDisklaimer: Buku ini merupakan buku guru yang dipersiapkan Pemerintah dalam rangka implementasi Kurikulum 2013. Buku guru ini disusun dan ditelaah oleh berbagai pihak di bawah koordinasi Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, dan dipergunakan dalam tahap awal penerapan Kurikulum 2013. Buku ini merupakan “dokumen hidup” yang senantiasa diperbaiki, diperbaharui, dan dimutakhirkan sesuai dengan dinamika kebutuhan dan perubahan zaman. Masukan dari berbagai kalangan diharapkan dapat meningkatkan kualitas buku ini.Katalog Dalam Terbitan (KDT)Indonesia. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.Matematika / Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan.-- Jakarta : Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan, 2015. viii, 272 hlm. : ilus. ; 25 cm.Untuk SMA/MA/SMK/MAK Kelas XIIISBN 978-602-282-103-8 (jilid lengkap)ISBN 978-602-282-XXX-X (jilid 3)1. Matematika — Studi dan Pengajaran I. JudulII. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan 510Kontributor Naskah:Abdur Rahman As’ari, Ipung Yuwono, Makbul Muksar, Tjang Daniel Chandra, Latifah Mustofa L., Latiful Anwar, Nur Atikah, Dahliatul Hasanah, Syaiful Hamzah Nasution, dan Vita Kusumasari. Penelaah: Agung Lukito, Ali Mahmudi, Kusnandi, dan Turmudi.Penyelia Penerbitan: Pusat Kurikulum dan Perbukuan, Balitbang, Kemdikbud.Cetakan Ke-1, 2015Disusun dengan huruf Times New Roman, 12 pt.
MatematikaKurikulum 2013iiiKata PengantarMatematika adalah bahasa universal untuk menyajikan gagasan atau pengetahuan secara formal dan presisi sehingga tidak memungkinkan terjadinya multi tafsir. Penyampaiannya adalah dengan membawa gagasan dan pengetahuan konkret ke bentuk abstrak melalui pendefinisian variabel dan parameter sesuai dengan yang ingin disajikan. Penyajian dalam bentuk abstrak melalui matematika akan mempermudah analisis dan evaluasi selanjutnya.Permasalahan terkait gagasan dan pengetahuan yang disampaikan secara matematis akan dapat diselesaikan dengan prosedur formal matematika yang langkahnya sangat presisi dan tidak terbantahkan. Karenanyamatematika berperan sebagai alat komunikasi formal paling efisien. Perlu kemampuan berpikir kritis-kreatif untuk menggunakan matematika seperti uraian di atas: menentukan variabel dan parameter, mencari keterkaitan antarvariabel dan dengan parameter, membuat dan membuktikan rumusan matematika suatu gagasan, membuktikan kesetaraan antarbeberapa rumusan matematika, menyelesaikan model abstrak yang terbentuk, dan mengkonkretkan nilai abstrak yang diperoleh.Buku Matematika Kelas XII untuk Pendidikan Menengah ini disusun dengan tujuan memberi pengalaman konkret-abstrak kepada siswa seperti uraian di atas. Pembelajaran matematika melalui buku ini akan membentuk kemampuan siswa dalam menyajikan gagasan dan pengetahuan konkret secara abstrak, menyelesaikan permasalahan abstrak yang terkait, dan berlatih berfikir rasional, kritis dan kreatif.Sebagai bagian dari Kurikulum 2013 yang menekankan pentingnya keseimbangan kompetensi sikap, pengetahuan dan keterampilan, kemampuan matematika yang dituntut dibentuk melalui pembelajaran berkelanjutan yaitu dimulai dengan meningkatkan pengetahuan tentang metode-metode matematika, dilanjutkan dengan keterampilan menyajikan suatu permasalahan secara matematis dan menyelesaikannya, dan bermuara pada pembentukan sikap jujur, kritis, kreatif, teliti, dan taat aturan.
Kelas XII SMA/MAivBuku ini menjabarkan usaha minimal yang harus dilakukan siswa untuk mencapai kompetensi yang diharapkan. Sesuai dengan pendekatan yang dipergunakan dalam Kurikulum 2013, siswa diberanikan untuk mencari dari sumber belajar lain yang tersedia dan terbentang luas di sekitarnya. Peran guru sangat penting untuk meningkatkan dan menyesuaikan daya serap siswa dengan ketersedian kegiatan pada buku ini. Guru dapat memperkayanya dengan kreasi dalam bentuk kegiatan-kegiatan lain yang sesuai dan relevan yang bersumber dari lingkungan sosial dan alam.Sebagai edisi pertama, buku ini sangat terbuka terhadap masukan dan akan terus diperbaiki dan disempurnakan. Untuk itu, kami mengundang para pembaca untuk memberikan kritik, saran dan masukan guna perbaikan dan penyempurnaan edisi berikutnya. Atas kontribusi tersebut, kami ucapkan terima kasih. Mudah-mudahan kita dapat memberikan yang terbaik bagi kemajuan dunia pendidikan dalam rangka mempersiapkan generasi seratus tahun Indonesia Merdeka (2045).Jakarta, Januari 2015Menteri Pendidikan dan Kebudayaan
MatematikaKurikulum 2013v
Kelas XII SMA/MAviKata Pengantar.........................................................................................iiDaftar Isi.........................................................................................viBab 1Matriks ........................................................................................1Peta Konsep.........................................................................................3Subbab 1.1 Determinan Matriks 1×1..................................................4Subbab 1.2 Menentukan Determinan Matriks 2×2 dan Sifat-sifatnya Menggunakan Kofaktor...................................................5Kegiatan 1.2.1 Minor, Kofaktor, dan Determinan Matriks 2×2...5Kegiatan 1.2.2 Determinan Matriks 2×2......................................8Kegiatan 1.2.3 Sifat-sifat Determinan Matriks 2×2......................11Subbab 1.3. Determinan Matriks 3×3 dan Sifat-Sifatnya...................17Latihan 1.3....................................................................................30Subbab 1.4 Invers Matriks..................................................................31Kegiatan 1.4.1 Mengekplorasi Invers Matriks.............................34Kegiatan 1.4.2 Menentukan Invers Matriks.................................42Latihan 1.4....................................................................................51Subbab 1.5 Menyelesaikan Masalah Menggunakan Matriks..............52Kegiatan 1.5.1 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL).52Kegiatan 1.5.2 Memodelkan dan Menyelesaikan Masalah Sehari-hari yang berkaitan dengan SPL Tiga Variabel Menggunakan Matriks..........................................61Latihan 1.5....................................................................................64Bab 2 Bunga, Pertumbuhan Dan Peluruhan......................................71Peta Konsep.........................................................................................73Subbab 2.1 Bunga Tunggal Dan Bunga Majemuk..............................74Daftar Isi
MatematikaKurikulum 2013viiKegiatan 2.1.1 Mengenal Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk..74Kegiatan 2.1.2 Rumus Umum Bunga Tunggal.............................83Latihan 2.1.2.................................................................................91Kegiatan 2.1.3 Rumus Umum Bunga Majemuk...........................92Latihan 2.1.3.................................................................................101Subbab 2.2 Pertumbuhan dan Peluruhan.............................................103Kegiatan 2.2.1 Mengenal Pertumbuhan dan Peluruhan................103Kegiatan 2.2.2 Menentukan Rumus Pertumbuhan dan Peluruhan.110Latihan 2.2....................................................................................122Bab 3 Induksi Matematika......................................................................127Peta Konsep.........................................................................................129Subbab 3.1 Induksi Matematis............................................................130Kegiatan 3.1.1 Penalaran Induktif dan Deduktif..........................130Kegiatan 3.1.2 Prinsip Induksi Matematis ...................................139Kegiatan 3.1.3 Penerapan Induksi Matematis..............................148Latihan 3.1....................................................................................154Subbab 3.2 Prinsip Induksi Matematis Kuat.......................................158Kegiatan 3.2.1 Prinsip Induksi Matematis Kuat...........................158Kegiatan 3.2.2 Penerapan Prinsip Induksi Matematis Kuat.........164Latihan 3.2....................................................................................168Bab 4 Diagonal Bidang, Diagonal Ruang, Bidang Diagonal, Dan Penerapannya..............................................................................173Peta Konsep.........................................................................................175Subbab 4.1 Diagonal Bidang Dan Diagonal Ruang............................176Kegiatan 4.1.1Diagonal Bidang dan Diagonal Ruang..................177Latihan 4.1.1.................................................................................187Kegiatan 4.1.2 Sifat-Sifat Diagonal Bidang dan Diagonal Ruang.193Latihan 4.1.2.................................................................................197
Kelas XII SMA/MAviiiSubbab 4.2 Bidang Diagonal...............................................................199Latihan 4.2....................................................................................207Bab 5 Integral Tentu..............................................................................209Peta Konsep.........................................................................................211Subbab 5.1 Notasi Sigma, Jumlah Rieman dan Integral Tentu...........212Kegiatan 5.1.1 Menentukan Luas Permukaan Daun....................212Latihan 5.1....................................................................................228Subbab 5.2 Teorema Fundamental Kalkulus.......................................230Kegiatan 5.2.1 Teorema Fundamental Kalkulus I........................230Kegiatan 5.2.2 Teorema Fundamental Kalkulus II.......................236Latihan 5.2....................................................................................243Subbab 5.3 Penerapan Integral Tentu..................................................245Latihan 5.3....................................................................................263Glosarium.........................................................................................269Daftar Pustaka.........................................................................................272
Kompetensi DasarPengalaman BelajarKompetensi Dasar Dan Pengalaman BelajarMatriksBabSumber : http//www.dreamstime.com1Melalui pembelajaran matriks, siswa memperoleh pengalaman belajar:1.Mengamati dan menemukan konsep determinan matriks beserta sifat operasi determinan matriks.2.Mengamati dan menemukan konsep invers dari matriks. 3.Menerapkan konsep matriks dalam menyelesaikan masalah sehari-hari.1.1Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya.2.1Menghayati perilaku disiplin, sikap kerjasama, sikap kritis dan cermat dalam bekerja menyelesaikan masalah kontekstual.3.1Menganalisis konsep, nilai determinan dan sifat operasi matriks serta menerapkannya dalam menentukan invers matriks dan dalam memecahkan masalah.4.1Menyajikan dan menyelesaikan model matematika dalam bentuk persamaan matriks dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan persamaan linear.
Gabriel Cramer (1704 – 1752) adalah seorang ahli matematika dari Swiss. Meski Cramer tidak digolongkan sebagai ahli matematika terbesar pada zamannya, tetapi kontribusinya sebagai pemilah gagasan-gagasan matematis telah memberinya posisi terhormat dalam sejarah matematika. Cramer melakukan banyak perjalanan dan bertemu dengan banyak ahli matematika terkemuka pada masa itu.Hasil karya Cramer yang paling terkenal adalah Introduction al’analyse des lignes courbes algebriques (1750), yang merupakan studi dan klasifikasi kurva-kurva aljabar dimana aturan Cramer muncul dalam lampirannya. Meskipun aturan itu menggunakan namanya, tetapi berbagai gagasan telah dirumuskan sebelumnya oleh banyak ahli matematika. Namun demikian, catatan penting Cramerlah yang membantu memperjelas dan mempopulerkan teknik ini.Kematiannya pada usia 48 tahun disebabkan kerja terlalu keras dan kecelakaan akibat terjatuh dari kereta. Cramer adalah orang yang baik dan menyenangkan dan mempunyai minat yang luas. Ia menulis mengenai filsafat hukum dan pemerintahan serta sejarah matematika. Ia bekerja pada kantor pemerintahan dan berpartisipasi di angkatan bersenjata di bagian artileri dan kegiatan pembentengan pemerintah. Ia juga menjadi instruktur bagi para pekerja mengenai teknik perbaikan katedral dan melakukan penggalian peninggalan katedral. Cramer menerima banyak gelar kehormatan untuk kegiatan-kegiatan yang dilakukannya.(sumber: Anton, H. Dan Rorres, C. 2004. Aljabar Linear Elementer, Versi Aplikasi, terjemahan. Jakarta: Erlangga). www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Cramer.htmlHikmah yang mungkin bisa kita petik adalah:Hasil baik yang didapat dikemudian hari merupakan buah dari kerja keras.Biografi Grabiel CramerSumber: wikipedia.org
Peta KonsepMatriksDeterminanMatriks 1×1, 2×2, 3×3Minor dan Kofaktor Matriks 1×1, 2×2, 3×3Sifat-sifat Determinan MatriksPenerapanSistem Persamaan LinearMasalah nyataSolusi tunggalBanyak solusiTidak ada solusiDeterminanInvers MatrikSyarat matriks mempunyai inversInvers matriks 2×2 dan 3×3Sifat-sifat invers matrik
Kelas XII SMA/MA4Konsep matriks telah Anda pelajari di kelas X. Matriks didefinisikan sebagai susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu susunan berbentuk persegipanjang. Susunan bilangan itu diletakkan di dalam kurung biasa “( )” atau kurung siku “[ ]”. Untuk menamakan matriks, disepakati menggunakan huruf kapital. Ordo atau ukuran matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom suatu matriks dan dinotasikan dengan m×n (m baris dan n kolom). Contoh:211 23, 350ABab == − Matriks A memiliki dua baris dan dua kolom, ditulis 22A×. Matriks B memiliki dua baris dan tiga kolom, ditulis 23B×. Unsur atau elemen matriks pada baris ke-i kolom ke-j dinotasikan aij. Pada matriks A di atas, elemen baris ke-1 kolom ke-1 (11a) adalah 2, elemen baris ke-1 kolom ke-2 (12a) adalah 1, elemen baris ke-2 kolom ke-1 (21a) adalah a, dan elemen baris ke-2 kolom ke-2 (22a) adalah b.Pada pembahasan ini, Anda akan mempelajari pengertian determinan matriks 1×1, 2×2, dan 3×3 serta sifat-sifat determinan. Determinan matriks merepresentasikan suatu bilangan tunggal. Determinan diperoleh dengan mengalikan dan menjumlahkan elemen-elemen matriks dengan cara yang khusus. Pembahasan tentang determinan merupakan dasar untuk menentukan invers suatu matriks dan dalam masalah sistem persamaan linear. Subbab 1.1 Determinan Matriks 1×1 Definisi : Diberikanmatriks[ ]Aa=.DeterminanmatriksA,dinotasikandet(A)adalaha.Catatan : notasilainuntukdeterminanmatriksAadalah|A|atau||a,denganAa=.Definisi Ingat Kembali
MatematikaKurikulum 20135Contoh 1.1Diberikan matriks [ ]2B= dan [ ]3C= −. Tentukan determinan dari matriks B dan CAlternatif PenyelesaianBerdasarkan definisi determinan matriks 1×1, det(B) = 2 dan det(C) = −3 Hati-hati, untuk matriks 1×1 jangan bingung dengan notasi “| |” pada determinan dan notasi nilai mutlak.Subbab 1.2 Menentukan Determinan Matriks 2×2 dan Sifat-sifatnya Menggunakan Kofaktor.Kegiatan 1.2.1 Minor, Kofaktor dan Determinan Matriks 2×2Determinan matriks hanya dimiliki oleh matriks persegi. Determinan matriks dapat digunakan untuk menentukan invers matriks atau menyelesaikan sistem persamaan linear. Pada subbab ini akan mempelajari determinan matriks 2×2 yang didasarkan pada ekspansi kofaktor. Untuk menentukan kofaktor Anda harus mempelajari minor suatu matriks terlebih dahulu. Ayo MengamatiContoh 1.2Diberikan matriks3512A−=−. Dari matriks A diperoleh:1122M= =( )11111 22C+=− ⋅=1211M=−=−( ) ( )1212111C+=− ⋅− =
Kelas XII SMA/MA62155M= =( )21211 55C+=− ⋅=−2233M=−=−( ) ( )22221 33C+=− ⋅− =−11Mdisebut minor entri a11dan 11Cdisebut kofaktor entri a1112Mdisebut minor entri a12 dan 12Cdisebut kofaktor entri a1221Mdisebut minor entri a21dan 21Cdisebut kofaktor entri a2122Mdisebut minor entri a22dan 22Cdisebut kofaktor entri a22Hubungan antara minor tiap entri matriks A dan matriks A disajikan dalam Tabel 1 berikut.Tabel 1. Hubungan antara minor tiap entri matriks A dan matriks AEntryMinorHubungan dengan Matriks AKeterangan113a= −1122M= =3512−−Baris pertama dihapusKolom pertama dihapus125a=1211M=−=−3512−−Baris pertama dihapusKolom kedua dihapus211a= −2155M= =3512−−Baris kedua dihapusKolom pertama dihapus222a=2233M=−=−3512−−Baris kedua dihapusKolom pertama dihapus Dari Tabel 1, 11Madalah determinan submatriks setelah baris ke-1 dan kolom ke-1 dihapus. 12Madalah determinan submatriks setelah baris ke-1 dan kolom ke-2 dihapus. 21Madalah determinan submatriks setelah baris ke-2 dan kolom ke-1 dihapus. 22Madalah determinan submatriks setelah baris ke-2 dan kolom ke-2 dihapus.
MatematikaKurikulum 20137Contoh 1.3Diberikan matriks 2314B=. Tentukan semua minor dan matriks kofaktor matriks B.Alternatif PenyelesaianBerdasarkan definisi, minor dan kofaktor matriks B disajikan dalam tabel berikut.MinorKofaktor1144M= =C11 = (−1)1+1∙4 = 41211M= =C12 = (−1)1+2∙1 = −12133M= =C21 = (−1)2+1∙3 = −32222M= =C22 = (−1)2+2∙2 = 2Minor matriks 4132B=dan matriks kofaktor dari matriks 4132B−=−.Contoh 1.4Diberikan matriks 2320C=. Tentukan semua minor dan kofaktor masing-masing entri matriks C.
Kelas XII SMA/MA8Alternatif PenyelesaianMinorKofaktor1100M= =C11 = (−1)1+1∙0 = 01222M= =C12 = (−1)1+2∙2 = −22133M= =( )21211 33C+=− ⋅=−2222M= =( )22221 22C+=− ⋅=Minor matriks C adalah 0232dan kofaktor matriks C adalah 0232−−Berdasarkan Contoh 1.2, Contoh 1.3, dan Contoh 1.4 buatlah definisi tentang minor dan kofaktor dari suatu entri matriks 2×2. Tulislah definisi yang Anda buat pada tempat berikut ini.Kegiatan 1.2.2 Determinan Matriks 2×2.Determinan matriks 2×2 didefinisikan sebagai berikut.Definisi Determinan.DiberikanMatriksAordo2×2.DeterminanmatriksA didefinisikansebagai:11111212det( )A aC aC=+Dengan11a,12aberturut-turutentribariske-1kolomke-1danentribariske-1kolomke-2padamatriksA.11Cdan12Cberturut-turutkofaktorentri11adan12aDefinisi
MatematikaKurikulum 20139Contoh 1.5Matriks 2314B=pada Contoh 1.3 memiliki kofaktor 4132−−. Berdasarkan definisi determinan matriks diperoleh d et ( )2 4 3 ( 1)5B= ⋅ + ⋅− =Ayo Menanya??Dari beberapa contoh di atas, mungkin ada pertanyaan-pertanyaan yang ingin Anda sampaikan. Pertanyaan berikut mungkin juga Anda tanyakan adalah: “Apakah ada cara lain untuk menentukan determinan matriks 2×2?”, Tulis pertanyaan Anda pada tempat berikut.Ayo MenalarContoh 1.6Diberikan matriks 2211D=−. Minor matriks D adalah 1122−dan matriks kofaktor dari matriks D adalah 1122−. Berdasarkan definisi determinan matriks diperoleh det( ) 21 21 4D= ⋅+ ⋅=.Perlu Anda ketahui, definisi determinan matriks 22A× adalah 11111212det( )A aC aC=+, dengan 11121112,, ,aaCCberturut-turut entri baris ke-1 kolom ke-1, entri baris ke-1 kolom ke-2, kofaktor entri 11adan kofaktor entri pada matriks A. 11111212aC aC+disebut ekspansi kofaktor baris pertama pada matriks A.
Kelas XII SMA/MA10Determinan matrik secara umum dapat dicari dengan ekspansi kofaktor baris ke-i atau kolom ke-j pada matriks tersebut.Coba Anda tentukan ekspansi baris pertama, kedua, kolom pertama dan kolom kedua matriks D. Tulis hasil yang Anda dapatkan pada tempat berikut:Ekspansi KofaktorDeterminan Matriks DBaris pertama1111121221 21 4aC aC+ = ⋅+ ⋅=Baris keduaa21C21 + a22C22 =(−2)∙(−1) + 1∙2 + 4Kolom pertamaa11C21 + a21C21 = 2∙1 + (−1)∙(−2) = 4Kolom kedua1212222221 12 4aC aC+= ⋅+⋅ = TantanganAnda telah mempelajari bagaimana menentukan determinan matriks 2×2 melalui ekpansi kofaktor. Sekarang coba Anda membuat rumus sederhana untuk menentukan determinan matriks 2×2 jika diberikan matriks abAcd=dengan menggunakan definisi determinan matriks 2×2. Tuliskan pekerjaan Anda pada tempat berikut.
MatematikaKurikulum 201311Kegiatan 1.2.3 Sifat-sifat Determinan Matriks 2×2Anda telah mempelajari determinan matriks 2×2 dengan ekspansi kofaktor. Selanjutnya Anda akan mempelajari sifat-sifat determinan matriks 2×2. Ayo MengamatiContoh 1.7Diberikan matriks 1321A=dan 3221B−=. det( ) 1 1 3 25A=⋅−⋅ =−dan det( ) 3 1 ( 2) 2 7B= ⋅−− ⋅ =Jika kedua matriks tersebut dikalikan maka1 3 3 236 23 9 121 2 162 41 8 3AB−+ −+ === + −+− det() 9 ( 3) 1 835AB= ⋅− −⋅ =−3 2 1 334 92172 1 21 22 614 7BA−−− − === ++ det() ( 1) 7 7 435BA=−⋅−⋅=−Contoh 1.8Diberikan matriks 1232C=−dan 0921D=−−det( ) 1 2 2 ( 3) 8C= ⋅ − ⋅− =dan det( ) 0 ( 1) 9 ( 2) 18D= ⋅− − ⋅− =Sehingga det( ) det( ) 8 18 144CD⋅ =⋅=Jika kedua matriks tersebut dikalikan, maka
Kelas XII SMA/MA121 2 0 904 924 732 21 04272 429CD−− − === − −− − −− −− det() ( 4) ( 29) 7 ( 4) 144CD=− ⋅− − ⋅− =09120 270 1827 182 1 3223 4216DC−+ − === − − −−+ −−− det() ( 27) ( 6) 18 1 144DC=− ⋅− − ⋅ =Contoh 1.9Diketahui matriks 2317E=. Transpose dari matriks Eadalah 2137TE=det( )2 7 3 1 11E= ⋅−⋅=dan det()2 7 1 3 11TE=⋅−⋅=Contoh 1.10Diketahui matriks 1820F=−. Transpose dari matriks Fadalah 1280TF−=det( ) 1 0 8 ( 2) 16F= ⋅ − ⋅− =dan det() 1 9 ( 2) 8 16TF=⋅ −− ⋅ =Contoh 1.11Diketahui matriks 1252G=, 1112H−=,dan 1539I=−. Pada matriks-matriks tersebut berlaku hubungan GHI=det( ) 1 2 2 58G=⋅−⋅=− dan d et ( )( 1) 2 1 13H=− ⋅ −⋅=−serta det( ) 1 9 5 ( 3)24I= ⋅ − ⋅− =
MatematikaKurikulum 201313det( )8det( )3242438det( )det( )det( )det( )GHIIHG=−=−==−−==Contoh 1.12Diketahui matriks 2468J=dan 1357K=2 4612336 818 24J == 2| 3 | 6 24 12 18 9(2 8 4 6) 3JJ=⋅ − ⋅ = ⋅−⋅ =()313 2 6222 14 6 10 4 1 7 3 525 710 14KK ===⋅ −⋅ = ⋅−⋅ = 22 |K|Contoh 1.13Jika semua unsur pada suatu baris atau kolom matriks abLcd=dikalikan skalar k, apa yang dapat disimpulkan?Alternatif PenyelesaianUntuk membuat kesimpulan secara umum, perlu ditinjau beberapa kasus. Kasus pertama, masing-masing entri baris pertama dikalikan skalar k kemudian dicari determinannya. Kasus kedua, masing-masing entri baris kedua dikalikan skalar k kemudian dicari determinannya. Kasus ketiga, masing-masing entri kolom pertama dikalikan skalar k kemudian dicari determinannya. Kemudian Kasus keempat, masing-masing entri kolom kedua dikalikan skalar k kemudian dicari determinannya. Dari keempat kasus tersebut, buatlah kesimpulan.
Kelas XII SMA/MA14Sekarang, carilah determinan dari masing-masing kasus di atas dan buatlah kesimpulan pada tempat berikut. Ayo Menanya??Setelah Anda mengamati dengan cermat Contoh 1.7 sampai Contoh 1.13, mungkin Anda mempunyai beberapa pertanyaan. Mungkin salah satu pertanyaan Anda adalah sebagai berikut:1.Apakah pada matriks berordo 2×2 selalu berlaku det( ) det( )det()ABAB⋅=2.Apakah pada matriks berordo 2×2 selalu berlaku det( )det()TAA=3.Jika AB = C, dengan A, B dan C adalah matriks berordo 2×2, apakah A, Bdet( )det( )det( )CAB=berlaku secara umum? dan apakah det( )det( )det( )CBA= juga berlaku secara umum?Nah, tuliskan pertanyaan-pertanyaan Anda pada tempat berikut:
MatematikaKurikulum 201315Ayo MenalarUntuk menjawab beberapa pertanyaan tentang sifat determinan matriks, buat beberapa matriks dalam bentuk umum, misalkan abAcd= dan efBgh=Selidiki apakah det(A)⋅det(B) = det(AB)berlaku secara umum? Petunjuk: untuk menyeleidiki apakah berlaku det(A)⋅det(B) = det(AB), tentukan det(A), det(B)dan tentukan matriks AB, kemudian carilah det(AB) Tulis hasilnya pada tempat berikut.Menyelidiki apakah det( )det()TAA= berlaku secara umum? Petunjuk: untuk menyeleidiki apakah berlaku det( )det()TAA=, tentukan det( ),,TAAdan det()TA Tulis hasilnya pada tempat berikut.Selidiki apakah Jika AB = C, dengan A, B, dan C adalah matriks berordo 2×2 dengan det(A) ≠ 0, det(B) ≠ 0, maka berlaku det( )det( )det( )CAB=atau det( )det( )det( )CBA=?
Kelas XII SMA/MA16Petunjuk: kalikan matriks A dan B sehingga menghasilkan matriks C. Hitung det( )C, det( )B dan det( ).A Tulis hasilnya pada tempat berikut.Contoh 1.14Buatlah sebarang dua matriks A dan B dengan ordo 2x2. Kemudian tentukanlah:a. A + Bb. A – Bc. det(A) dan det(B)d. det(A + B) dan det(A – B)ulangi perintah (a) sampai (d) dengan sebarang dua matriks ordo 2×2 yang lain.Buatlah kesimpulan dari kegiatan yang telah Anda lakukan kemudian tulislah kesimpulan tersebut pada tempat berikut.Ayo MengomunikasikanAnda telah membuat kesimpulan tentang sifat-sifat determinan matriks berordo 2×2. Tulislah kesimpulan yang Anda buat pada selembar kertas. Kemudian tukarkan kesimpulan Anda dengan teman yang lain. Cermati kesimpulan teman Anda, kritisi, dan tanyakan jika ada hal yang kurang mengerti. Secara santun, berikan saran perbaikan jika dianggap perlu.
MatematikaKurikulum 201317Subbab 1.3. Determinan Matriks 3×3 dan Sifat-SifatnyaAyo MengamatiPada pembahasan sebelumnya Anda telah mempelajari determinan matriks berordo 2×2 beserta sifat-sifat determinannya. Selanjutnya, Anda akan mempelajari determinan matriks berordo 3×3. Sebelum mempelajari cara menentukan determinan matriks ordo 3×3, Anda harus mempelajari tentang pengertian minor dan kofaktor pada matriks 3×3.Contoh 1.15Diberikan matriks 1218 740 16M−=−. Tentukan minor dan kofaktor matriks M.Alternatif PenyelesaianUntuk menentukan minor dan kofaktor masing-masing entri matriks M serupa dengan menentukan minor dan kofaktor matrik ordo 2×2. Minor dari a11, disimbolkan M11 adalah determinan submatriks setelah baris pertama dan kolom pertama dihapus. Berikut disajikan minor masing-masing entri matriks M.EntryMatriks MMinorKeterangan11M1218 740 16−−744616=−Baris pertama dihapusKolom pertama dihapus12M1218 740 16−−844806=Baris pertama dihapusKolom kedua dihapus
Kelas XII SMA/MA18EntryMatriks MMinorKeterangan13M1218 740 16−−87801= −−Baris pertama dihapusKolom kedua dihapus21M1218 740 16−−211316=−Baris kedua dihapusKolom pertama dihapus22M1218 740 16−−11606−= −Baris kedua dihapusKolom kedua dihapus23M1218 740 16−−12101−=−Baris kedua dihapusKolom ketiga dihapus31M1218 740 16−−21174=Baris ketiga dihapusKolom pertama dihapus32M1218 740 16−−111284−= −Baris ketiga dihapusKolom kedua dihapus33M1218 740 16−−122387−= −Baris ketiga dihapusKolom ketiga dihapusSehingga minor matriks M adalah 11121321222331323346488136111223MMMMMMMMM−=−−−
MatematikaKurikulum 2013191121111( 1)( 1) 4 64 6CM+=− ⋅ =−⋅=1231212( 1)( 1) 4 84 8CM+=− ⋅ =−⋅=−1341313(1)(1) (8) 8CM+=− ⋅ =− ⋅− =−2132121( 1)( 1) 1 31 3CM+=− ⋅ =−⋅=−2242222(1)(1) (6) 6CM+=− ⋅ =− ⋅− =−Sehingga kofaktor matriks M adalah 11121321222331323346488136111223CCCCCCCCC−−=− −−−Contoh 1.16Tentukan minor dan kofaktor matriks 12 123 034 4A−= −−−.Alternatif Penyelesaian11301244M== −−2121444M−== −−3121330M−==1220834M−==−−2211734M−== −−−3211220M−== −−1323134M−==−23121034M==−3312723M==−Sehingga minor matriks A adalah 128147 103 27−−−−2352323( 1)( 1) 11CM+=− ⋅ =− ⋅=−3143131( 1)( 1) 1 1CM+=− ⋅ =− ⋅=3253232( 1)( 1) ( 12) 12CM+=− ⋅ =− ⋅− =3363333(1)(1) (23) 23CM+=− ⋅ =− ⋅− =−
Kelas XII SMA/MA20dan kofaktornya 12814710327−−−−Contoh 1.17Matriks 12 123 034 4A−= −−− pada Contoh 1.16 memiliki kofaktor 12814710327−−−−. Tentukan ekpansi kofaktor baris pertama, kedua, dan ketiga serta ekspansi kofaktor kolom pertama, kedua dan ketiga pada matriks A.Alternatif PenyelesaianEkspansi kofaktor baris ke-i matriks 3×3 didefinisikan sebagai 112 23 3iii ii iaC a CaC++dengan ija adalah entri baris ke-i kolom ke-j dan ijCkofaktor baris ke-i kolom ke-j.Ekspansi kofaktor baris ke-1 pada matriks A = 1 ( 12) 2 ( 8) ( 1) 129⋅− + ⋅− +− ⋅ =−Ekspansi kofaktor baris ke-2 pada matriks A = ( 2) 4 3 ( 7) 0 ( 10)29− ⋅ + ⋅− + ⋅− =−Ekspansi kofaktor baris ke-3 pada matriks A = ( 3) 3 4 2 ( 4) 729− ⋅ + ⋅ +− ⋅ =−Ekspansi kofaktor kolom ke-j matriks 3×3 didefinisikan sebagai 112 23 3jjj jj jaC a CaC++.Ekspansi kofaktor kolom ke-1 pada matriks A = 1 ( 12) ( 2) 4 ( 3) 329⋅− +− ⋅ +− ⋅ =−Ekspansi kofaktor kolom ke-2 pada matriks A = 2(8) 3(7) 42 29⋅− + ⋅− + ⋅ =−Ekspansi kofaktor kolom ke-3 pada matriks A = ( 1) 1 0 ( 10) ( 4) 729− ⋅+ ⋅− +− ⋅ =−
MatematikaKurikulum 201321Jika diamati ekpansi kofaktor baris ke-i atau kolom ke-j pada contoh 1.17 menghasilkan nilai yang sama, yaitu −29. Nilai inilah yang disebut dengan determinan matriks A.Contoh 1.18Tunjukkan bahwa determinan matrik 1 1021 201 3R−=− adalah 11.Alternatif PenyelesaianMinor untuk masing-masing entri matriks R adalah 5 623312 23−− dengan matriks kofaktornya 5 6233 122 3−−.Ekspansi kofaktor baris pertama = 1⋅5 + (−1)⋅(−6) + 0∙2 = 5 + 6 = 11 Jadi benar bahwa determinan matriks R adalah 11.Coba Anda selidiki ekspansi kofaktor baris kedua, baris ketiga, kolom pertama, kolom kedua, dan kolom ketiga.Contoh 1.19Matriks 2 320104Npp=mempunyai determinan 9. Tentukan nilai terkecil p+9.
Kelas XII SMA/MA22Alternatif PenyelesaianAkan dicari C11, C12, dan C13.11211111( 1)( 1)1 ( 40 )404pC Mpp+=−=−⋅ =⋅ −=123121201( 1)( 1)( 1) ( 0)4CMppp+=−=−=−⋅ − =1342213130( 1)( 1)1 ( 0)0pCMppp+=−=−=⋅− =−Oleh karena det( ) 9N=, maka111112121313222det( )9 2432()021190 21190( 29 )(1)N aC aCaCpp ppppppp=++= ⋅ + ⋅ + ⋅−=−+−= −+=−−Sehingga p = 1 atau 92p=.Jadi nilai terkecil p + 9 adalah 1 + 9 = 10 Setelah mengamati Contoh 1.17, 1.18, dan 1.19, silahkan Anda definisikan determinan matriks 3×3Definisi Determinan Matriks 3×3.Misalkanmatriks111213212223313233aaaAa a aaaa=memilikikofaktor111213212223313233CCCCCCCCC,determinanmatriksAdidefinisikansebagai111112121313det( )A aC aCaC=++Definisi
MatematikaKurikulum 201323Contoh 1.20Diberikan matriks 111213212223313233aaaAa a aaaa= dengan kofaktor matriks A 111213212223313233CCCCCCCCCBerdasarkan definisi, determinan matriks A adalah 111112121313det( )A aC aCaC=++.jika diuraikan menghasilkan 111112121313222321232122111 21 3111213323331333132det( )( 1)( 1)( 1)A aC aCaCaaaaaaaa aaaaaaa+++=++=−+−+−1122 3323 321221 3323 311321 3222 3111 22 3311 23 3212 21 3312 23 3113 21 3213 22 3111 22 3312 23 3113 21 3211 23 3212 21 3313 22 31()()()a aa aaa aa aaa aa aaaa aaa aaaaaa a aaaaa aaa aaa a aaaaa aaaaaa a= −− −+ −=−−++−=++−−−Jadi 11 22 3312 23 3113 21 3211 23 3212 21 3313 22 31det( )A aa aaa a aaaaa aaaaaa a=++−−−. Untuk memudahkan menghafal det( )Adigunakan cara kaidah Sarrus berikut:−− −+++111213111221222321223132333132aaaaaaaaaaaaaaaSebagai contoh, Tentukan determinan matriks 34 221310 1N−=−
Kelas XII SMA/MA24Alternatif PenyelesaianUntuk menentukan determinan matriks N, digunakan kaidah Sarrus.−− −+++34 2 342 1 32 11 0110−−−det( ) (3)1(1) 431 220 112 03(3) (1)24 21N=− ⋅⋅− + ⋅ ⋅+ ⋅ ⋅ −⋅⋅ − ⋅ ⋅− −− ⋅ ⋅ =Contoh 1.21Diberikan Matriks C = 12 138 210 1−−. Jika TCadalah transpose matriks C, selidiki apakah det( )det()TCC=?Alternatif PenyelesaianDiketahui C = 12 138 210 1−− sehingga 13128012 1TC=−−. Dengan menggunakan Kaidah Sarrus diperolehd et ( ) 1 8 ( 1) 2 2 1 ( 1) 3 0 1 8 ( 1) 0 2 1 ( 1) 3 2 1 0C=⋅⋅− +⋅⋅+− ⋅⋅−⋅⋅− −⋅⋅−− ⋅⋅ =d et () 1 8 ( 1) 3 0 ( 1) 1 2 2 ( 1) 8 1 2 0 1 ( 1) 2 3 1 0TC= ⋅ ⋅− + ⋅ ⋅− +⋅ ⋅ −− ⋅ ⋅− ⋅ ⋅−− ⋅ ⋅ =Jadi det( )det()TCC=
MatematikaKurikulum 201325Contoh 1.22Diberikan matriks 2103 11201K= −dan 1 324423 12L= −. Apakah det()det( ) det( )KLKL=⋅?Alternatif Penyelesaian21013 22 10 63 11 442 10 6 62 0 1 3 125 7 6KL− =−− = . Dengan menggunakan kaidah Sarrus diperoleh: det(KL) = (−2)∙6∙6 + 10∙6∙5 + 6∙10∙7 − 5∙6∙6 − 7∙6∙(−2) − 6∙10∙10 = −48det(K) = 2∙(−1)∙1 + 1∙1∙2 + 0∙3∙0 − 2∙(−1)∙0 − 0∙1∙2 − 1∙3∙1 = −3det(L) = 21∙4∙2 + 3∙2∙3 + 2∙(−4)∙1 − 3∙4∙2 − 1∙2∙1 − 2∙(−4)∙3 = 16Jadi det(K)∙det(L) = (−3)∙16 = −48 = det(KL)Contoh 1.23Diberikan matriks 1 211 213 52P=−−, tentukan det(3 )Pdan selidiki hubungannya dengan det( )PAlternatif Penyelesaian121 3633 3 1 213 63352915 6P=−− =−−, dengan menggunakan kaidah Sarrus diperoleh
Kelas XII SMA/MA26det(3 ) 3 ( 6) 6 6 3 9 3 ( 3) 15 9 ( 6) 3 15 3 3 6 ( 3) 6 54P= ⋅− ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅− ⋅ − ⋅− ⋅ − ⋅ ⋅ − ⋅− ⋅ =det( ) 1(2)2 213 1(1)5 3(2)1 511 2(1)2 2P= ⋅− ⋅ + ⋅⋅ +⋅− ⋅ − ⋅− ⋅− ⋅⋅− ⋅− ⋅ =Hubungan det(3 )Pdengan det( )Padalah 3det(3 )27.det( ) 3 det( )P PP==Ayo Menanya??Setelah mempelajari beberapa contoh di atas, tentu ada beberapa pertanyaan yang ingin Anda kemukakan. Mungkin pertanyaan-pertanyaan tersebut antara lain:a.Apakah dalam matriks 3×3 selalu berlaku det( )det()TAA=?b.Apakah det()det( ) det( )ABAB=⋅selalu berlaku dalam matriks 3×3?c.Apakah 3det()det( )kAkA=selalu berlaku dalam matriks 3×3?d.Apakah det()det( ) det( )ABAB+= +selalu berlaku dalam matriks 3×3?e.Apakah det()det( ) det( )ABAB−= −selalu berlaku dalam matriks 3×3?Mungkin Anda memiliki pertanyaan lain yang ingin dikemukakan. Silahkan tulis pertanyaan tersebut pada tempat berikut.Ayo Menggali Informasi+=+Matriks 12 101 142 7A=−dan 15203 231 5B=−−adalah contoh matriks yang
MatematikaKurikulum 201327tidak memenuhi hubungan det()det( ) det( )ABAB+= +, mengapa? Coba Anda cari det(A), det(B), dan det(A + B).Matrik 100010001I=dan 10 00 1000 1J−=−−adalah contoh matriks yang memenuhi hubungan det()det( ) det( )IJIJ+= +, mengapa? Oleh karena dapat ditunjukkan contoh penyangkal yang mengakibatkan det()det( ) det( )ABAB+≠ +, disimpulkan bahwa pada matriks 3×3 tidak selalu berlaku det()det( ) det( )ABAB+= +. Masih banyak contoh penyangkal lain yang menyebabkan det()det( ) det( )ABAB+≠ +, dapatkah Anda mencarinya?Hubungan det()det( ) det( )ABAB−= −juga tidak selalu berlaku pada matriks 3×3. Sebagai contoh penyangkal matriks 19212 15 32A=−−− dan 2721 221 11B= −− berturut-turut memiliki det( )42A=dan det( ) 9B=. 12 004 36 21AB−−=−−− sehingga det() 38AB−=Dengan demikian det()det( ) det( )ABAB−≠ −. Oleh karena dapat ditunjukkan contoh penyangkal, maka disimpulkan pada matriks 3×3 tidak selalu berlaku det()det( ) det( )ABAB−= −. Masih banyak contoh penyangkal lain yang menyebabkan det()det( ) det( )ABAB−≠ −, dapatkah Anda mencarinya?
Kelas XII SMA/MA28Ayo MenalarSelidiki Apakah dalam matriks 3×3 selalu berlaku det( )det()TAA=?Coba Anda selidiki apakah dalam matriks 3×3 selalu berlaku det( )det()TAA=. Petunjuk:(1). Ambil sebarang matriks A, misal matrik ab cA de fgh i=. (2). Tentukan Transpose matriks A(3). Tentukan det(A)(4). Tentukan det(AT)(5). Bandingkan langkah (3) dan (4)Tulis hasil pekerjaan Anda pada tempat berikut.Selidiki Apakah dalam matriks 3×3 selalu berlaku 3det()det( )kAkA=?Coba Anda selidiki apakah dalam matriks 3×3 selalu berlaku det()det( )kAkA=.Petunjuk:(1). Ambil sebarang matriks A, misal matrik ab cA de fgh i=. (2). Ambil sebarang skalar k, dengan k∈R. (3). Tentukan det()kA. (4). Tentukan det( )A. (5). Bandingkan hasil pada (3) dan (4), kemudian buatlah Kesimpulan.Tulis hasil pekerjaan Anda pada tempat berikut.
MatematikaKurikulum 201329Selidiki Apakah dalam matriks 3×3 selalu berlaku det()det( ).det( )ABAB=?Coba Anda selidiki apakah dalam matriks 3×3 selalu berlaku det()det( ).det( )ABAB=. Petunjuk: (1). Ambil sebarang matriks A, B , misal ab cA de fgh i= ,,ab cj k lA d e f B mnogh ipqr == . (2).Kalikan matriks A dan B kemudian tentukan det()AB(3).Tentukan det( )A dan det( )B, kemudian hitung det( )A⋅det( )B(4).Bandingkan hasil pada (2) dan (3), kemudian buatlah kesimpulan.Tulis hasil pekerjaan Anda pada tempat berikut.Ayo MengomunikasikanSetelah mempelajari uraian di atas, buatlah kesimpulan tentang sifat-sifat determinan matriks 3×3. Secara santun, mintalah ijin kepada Guru untuk mempresentasikan kesimpulan yang Anda buat.
Kelas XII SMA/MA301.Hitunglah determinan matriks berikut.a. 2540A−=b. 40 751 203 1B=−−2.Buatlah matrik ordo 2×2 yang mempunyai determinan 8.3. Tentukan semua nilai p sehingga det( )0A=.a. 5421pAp−+=−b. 24 02000 3pApp−=−4.Diketahui matriks 12,| B |234A== −, dan 315Cp=. Jika AB C= tentukanlah nilai dari 221pp−+.5.Matriks A adalah matriks 2×2. Matriks B adalah matriks yang diperoleh dengan menukarkan baris pertama dengan baris kedua pada matriks A. Apa hubungan antara det( )Adan det( )B? Jelaskan.6. Carilah semua x yang memenuhi 10 202311132xxxx−=−−−.7. Apa yang dapat Anda katakan mengenai determinan matriks 2 × 2 dan 3 × 3 yang semua elemenya adalah bilangan 1? Jelaskan alasan Anda.Latihan 1.3
MatematikaKurikulum 2013318. Mengapa determinan dari matriks 3 × 3 dengan salah satu baris yang semua elemennya nol adalah nol? Beri penjelasan.9. Apa yang dapat Anda simpulkan mengenai determinan matriks 2 × 2 dan 3 × 3 yang mempunyai dua baris dengan elemen yang sama.10. Tunjukkan bahwa 222111()()()a b cb ac ac babc=−−− (Howard Anton )Pengayaan.1.Diberikan matriks A dan B masing-masing berordo 2 × 2, tunjukkan bahwa det(AB) = det(BA).2.Apakah matriks persegi berordo 3 × 3 yang memiliki determinan 0 selalu memuat suatu baris yang semua elemennya 0? Beri penjelasan.Subbab 1.4 Invers MatriksPesan BersandiDapatkah anda membaca pesan rahasia ini:5 0 −6 8 −11 3 0 7 8 7 7 13Mungkin anda berpikir ini hanya sebuah kumpulan bilangan. Bagaimana jika anda diberi tahu kode sandi dari pesan tersebut, yakni:-ABCDEFGHIJKLMN01-12-23-34-45-56-67-7OPQRSTUVWXYZ8-89-910-1011-1112-1213-13
Kelas XII SMA/MA32Anda akan dengan mudah membaca pesannya, yakni:50−68−1130787713I-LOVE-MOMMYJadi, jika kode sandi tersebut bocor ke orang yang tidak berhak, pesan akan mudah dibaca. Mungkin anda akan berpikir tentang bagaimana cara meningkatkan pengamanan pesan rahasia agar lebih sulit diketahui orang yang tidak berhak?Konsep matriks yang sudah anda pelajari sebelumnya dapat diterapkan untuk menambah pengamanan. Hal yang dapat dilakukan adalah menyatakan pesan tersebut dalam bentuk matriks, misalnya menjadi matriks berordo 6×2:50076887117313−−Selanjutnya matriks tersebut dikalikan dengan matriks persegi berordo 2×2 sebagai kode sandi tambahan, sehingga hasil perkalian matriksnya menjadi:5025150721146 8 5362873 2613811734193135435 −−−= −−− Dengan demikian, pesan yang dikirim menjadi 25 21 –6 61 -34 54 15 14 -2 38 -19 35
MatematikaKurikulum 201333sehingga meski ada yang mengetahui kode sandi pertama, orang tersebut belum dapat membaca pesan tersebut. Pengirim pesan cukup memberitahukan matriks 5332yang digunakannya untuk mengamankan pesan kepada orang yang dituju. Dengan menggunakan matriks kode sandinya, penerima pesan akan mendapatkan matriks baru, yakni 2335−−, yang selanjutnya dapat digunakan untuk membuka pesannya. Pesan yang diterima diproses seperti berikut:2515502114076 2 2 3686138358734191175435313 −− − −= − −−− Dengan demikian, pesan aslinya dapat diketahui, yaitu 5 0 -6 8 -11 3 0 7 8 7 7 13. Selanjutnya, dengan menggunakan table kode sandi, pesan dapat dibaca yaitu: I LOVE MOMMY.Ilustrasi pengiriman pesan bersandiPBPEEnkripsiDDekripsiMisalkanP: pesan awal yang sudah dirubah dalam bentuk matriks E: matriks enskripsi yang digunakan untuk mengamankan pesan B: pesan baru yang sudah diamankan setelah di kalikan matriks bersandi D: matriks dekripsi yang digunakan untuk membuka matriks menjadi matriks awal .
Kelas XII SMA/MA34Kegiatan 1.4.1 Mengekplorasi Invers MatriksAyo MengamatiAmati fakta-fakta hasil perkalian bilangan berikut: 1212×=1212×=23132×=Masih ingatkah anda tentang sifat-sifat operasi perkalian bilangan real? Bilangan 1 dalam kaitannya dengan sifat-sifat operasi perkalian bilangan real disebut unsur identitas (apa karakteristik dari unsur identitas dalam operasi perkalian? Dari fakta perkalian di atas, bisa kita katakan bahwa 2 adalah balikan/invers kali 12 dan sebaliknya. Begitu juga 23 adalah invers kali 32Sehingga dapat dituliskan dalam bentuk persamaan:PE = BBD = PSetelah pesan dirubah dalam bilangan dengan menggunakan kode sandi awal dan dituliskan dalam bentuk matriks ( P ), anda bisa menambahkan pengamanan lebih lanjut menggunakan kode sandi tambahan dengan format matriks. Pertanyaan yang menarik adalah matriks E seperti apa yang dapat digunakan sebagai alat untuk mengamankan pesan? Bagaimana cara mendapatkan matriks baru ( D ) yang digunakan untuk membuka pesan yang diterima ( B ) jika diberikan matriks E pengamannya? Keterangan: matriks E adalah matriks yang memiliki invers dan matriks E adalah invers matriks dari matriks D.
MatematikaKurikulum 201335dan sebaliknya, Mengapa? Adakah bilangan real yang tidak memiliki invers terhadap operasi perkalian? Berikan alasannya.Selanjutnya, amatilah fakta-fakta hasil perkalian matriks-matriks berikut:53 2 3 10323 501− ⋅= − 2 3 53 103 5 32 01− ⋅= − 15157 5461 0 02 11711 190 1 01 5 21 0 1001− −− − −⋅−− = − 57 5461511 0 011 192 1170 1 01 0 11 5 2001− −− − −− ⋅−= − Selanjutnya perhatikan istilah-istilah yang digunakan dalam kalimat-kalimat berikut:a.Matriks 2335−− disebut invers matriksA = 5332 dan invers matriksmatriks Aditulis A−1b.Matriks 57 54611 19101−−−− disebut invers matriks matriks B = 15 12 1171 52−−−−dan invers matriks matriks B ditulis B−1.c.Seperti yang sudah dibahas di kelas XI, matriks 1001 dan 100010001
Kelas XII SMA/MA36disebut matriks identitas, ditulis I. Apakah matriks identitas merupakan matriks persegi?Berdasarkan fakta-fakta perkalian matriks-matriks serta istilah invers matriks, tuliskan hubungan antara matriks A, A−1 dan matriks identitas I?Dengan menggunakan pengetahuan dalam menentukan determinan matriks yang sudah dibahas pada subbab sebelumnya, akan didapat nilai determinan tiap-tiap matriks tersebut sebagai berikut:a.( ) ( )53det5 23 3132=⋅−⋅=( ) ()23det2 533135−= ⋅ − − ⋅− =−b.15 1det2 11711 52−−−=−−57 546det11 191101−−− −=−Amati serta lengkapi informasi yang belum lengkap pada tabel berikut ini:
MatematikaKurikulum 201337Tabel 1. 1 informasi matriks terkait ukuran, determinannya dan keberadaan invers matriksnyaNoMatriksUkuranDeterminanKeterangan12 1342 3−−2 × 3Tidak memiliki nilai determinanTidak memiliki invers21324...−2Memiliki invers33232......Tidak memiliki inversAyo Menanya??Berdasarkan hasil pengamatan yang sudah anda lakukan, coba anda buat minimal 3 pertanyaan lain tentang invers. Upayakan pertanyaan yang anda buat memuat kata-kata “matriks persegi”, “determinan matriks”, “bukan matriks persegi”, “matriks identitas”, “memiliki invers”, dan “invers matriks”.Petunjuk: kalian bisa lebih fokus pada keterkaitan antara matriks-matriks yang memiliki inversnya dengan nilai determinan dari matriks tersebut, ukuran dari matriks-matriks yang memiliki invers serta hubungan antara matriks dengan invers matriksnya.Ayo Menggali Informasi+=+ dan Ayo MenalarDari sekian banyak pertanyaan yang anda buat, mungkin ada diantaranya pertanyaan-pertanyaan berikut:1.Apa semua matriks mempunyai invers matriks?2.Bagaimana ciri-ciri matriks yang memiliki invers matriks?3.Apa semua matriks persegi mempunyai invers matriks?4.Apa hubungan matriks dengan invers matriksnya?
Kelas XII SMA/MA38Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut perhatikan fakta-fakta matematika terkait matriks, operasi perkalian pada matriks, determinan matriks sebelumnya.Untuk dapat menjawab pertanyaan-pertanyaan yang anda buat, anda harus melakukan aktivitas menalar dengan melengkapi informasi yang diberikan.Untuk memperkaya informasi anda, perhatikan dan lengkapi informasi pada tabel berikut:Tabel 1. 2NoMatriksUkuran/Ordo Nilai DeterminanKeterangan11234562 × 3Tidak punyaTidak memiliki invers2635241......Tidak memiliki invers312342 × 2Tidak punyaTidak memiliki invers41234...0Tidak memiliki invers542112......Tidak memiliki invers66543......Memiliki invers
MatematikaKurikulum 201339Selanjutnya, perhatikan dan lengkapi informasi tentang hubungan antara matriks dan invers matriksnya pada tabel berikut:Tabel 1. 3NoMatriks AInvers matriks (A−1)AA−1A−1A136142131162−−......2212211211−−......348263141142−−......452733275−−......Berdasarkan tabel tersebut, buatlah kesimpulan terkait:1.Ciri-ciri matriks yang memiliki invers?2.Apa syarat untuk matriks persegi yang memiliki invers?3.Jika matriks memiliki invers matriks, apa hubungan yang berlaku antara matriks dan invers matriksnya?Selanjutnya, perhatikan pasangan-pasangan matriks dan invers matriksnya, kemudian jawablah pertanyaan yang menyertainya.1.Matriks A= 2122 dan invers matriks A−1 = 11211−−
Kelas XII SMA/MA40Lengkapi informasi ini dengan menentukan: a.det(A) dan det(A−1) b.1det( )A dan 11det()A− c.det(A)⋅det(A−1)2.Matriks A = 3614 dan matriks A−1 = 2131162−− Lengkapi informasi ini dengan menentukan : a.det(A) dan det(A−1) b.1det( )A dan 11det()A− c.det(A)⋅det(A−1)Sekarang, tuliskan kesimpulan awal atau dugaan awal tentang hubungan determinan matriks dan determinan inversnya Kesimpulan tersebut digunakan untuk menyelesaiakan Contoh dan juga sebagai bahan untuk anda diskusikan dengan siswa/kelompok lainnya.Contoh 1.24Berdasarkan hasil bernalar anda, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut ini:1.Apakah matriks-matriks berikut ini memiliki invers, berikan alasannya.a. 231354−−−b. 3251−−c. 0320d. 3040−
MatematikaKurikulum 2013412.Tetapkan apakah pasangan-pasangan matriks berikut merupakan pasangan matriks dengan invers matriksnya! Berikan alasanya.a.123 2,232 1AB− == − b.335 3,454 3CD− == − c.101 0,010 1EF− == − d.1652,33313 2GH−==−3.Diberikan matriks 4546M= dan invers matriksnya 135241Ma−−=−, tentukan nilai a.4.Diketahui matriks 232Ax−=− memiliki invers matriks A−1 dan nilai 1det()2A−=, tentukan nilai x.Ayo MengomunikasikanTuliskanlah kesimpulan yang anda dapatkan terkait ciri-ciri matriks yang memiliki invers dan sifat-sifat invers matriks.Pertukarkan tulisan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, silahkan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat.
Kelas XII SMA/MA42Kegiatan 1.4.2 Menentukan Invers MatriksAyo MengamatiBerdasarkan hasil aktivitas sebelumnya, Anda tentu sudah memperoleh temuan/kesimpulan tentang salah-satu karakteristik dari invers matriks, yakni:Jika matriks A memiliki invers A-1, maka akan berlaku A⋅ A-1 = A-1⋅A = ISedangkan pada subbab determinan yang Anda pelajari sebelumnya, Anda telah mengamati hubungan antara determinan hasil kali dua matriks dengan determinan masing-masing matriks. Jika A dan B adalah dua matriks persegi, maka det(AB) = det(A) × det(B)Berdasarkan sifat determinan hasil kali matriks tersebut tentu Anda bisa menggunakannya untuk mengamati hubungan determinan matriks yang memiliki invers dan determinan inversnya.Karena A⋅A−1 = I, maka berdasarkan sifat di atas akan didapatkandet(A) × det(A-1) = det(I)= 1Sehingga akan didapatkan hubungan antara determinan suatu matriks dengan determinan inversnya, yaitudet(A-1) = ( )1detADengan mengamati hubungan kedua determinan di atas, Anda mungkin dapat mengamati syarat matriks A mempunyai invers berdasarkan nilai determinannya. Mungkinkah matriks A mempunyai invers jika determinannya bernilai nol?Mungkin pertanyaan Anda selanjutnya adalah bagaimana cara menentukan invers dari suatu matriks A?
MatematikaKurikulum 201343Dengan demikian, anda tentu akan mencari matriks yang memenuhi kriteria matriks invers, yakni jika matriks dikalikan dengan inversnya, maka akan menghasilkan matriks identitas (I) dan sebaliknya. Untuk lebih menguatkan kesimpulan sementara Anda tentang invers matriks dan sifat-sifatnya serta untuk mendapatkan gambaran bagaimana mencari invers suatu matriks, perhatikan contoh berikut.Matriks 4365A= dengan det(A) = 2 mempunyai invers 1531642A−−=−dengan ( )11det2A−=Perhatikan contoh-contoh lainnya untuk matriks berukuran 2×2 yang diberikan dalam tabel berikut dan lengkapi informasi yang dibutuhkan.Tabel 1.4. Hubungan matriks dan inversnyaNOMatriks Adet(A)Matriks Invers A-1det(A-1)AA-1121654511624−−14100123214104211310−−110100133241−9121439−−−19−100144613...361146−−......
Kelas XII SMA/MA44NOMatriks Adet(A)Matriks Invers A-1det(A-1)AA-155281...1218511−−−......63578............72635............81654............Jika diamati pada kolom matriks invers, invers dari matriks yang berukuran 2×2 juga mempunyai ukuran yang sama (mengapa?).Ayo Menanya??Berdasarkan pengamatan diatas, coba Anda buat minimal 3 pertanyaan lain tentang invers. Upayakan pertanyaan yang Anda buat memuat kata-kata “invers matriks”, “determinan”.Ayo Menggali Informasi+=+Dari sekian banyak pertanyaan yang Anda buat, mungkin ada diantaranya pertanyaan-pertanyaan berikut:1.Adakah kesamaan bentuk matriks invers dari masing-masing matriks?2.Apa kaitan antara matriks invers dan determinannya?3.Bisakah kita menurunkan rumus mencari invers suatu matriks?Untuk menjawab pertanyaan-pertanyaan tersebut, lakukanlah kegiatan berikut.
MatematikaKurikulum 201345Coba Anda buat matriks-matriks lainnya yang mempunyai invers dan tuliskan di papan tulis. Lengkapi matriks-matriks tersebut dengan nilai determinan masing-masing. Guru Anda akan menuliskan invers dari masing-masing matriks yang sudah dituliskan.Ayo MenalarAnda sudah mengumpulkan contoh-contoh matriks yang mempunyai invers sekaligus matriks invers dan determinannya. Pertanyaan selanjutnya yang harus dijawab adalah bagaimana mencari invers suatu matriks jika sudah diketahui sebelumnya bahwa determinan matriks tersebut tidak nol? Berdasarkan tabel 1.4,coba Anda lakukan kegiatan berikut.(a)Amati kembali kolom matriks dan inversnya. Adakah hubungan antara unsur-unsur pada matriks awal dan unsur-unsur pada matriks invers? (b)Perhatikan kembali kolom matriks invers. Adakah kesamaan bentuk antara matriks invers yang satu dengan lainnya? (c)Perhatikan pula kedua kolom determinan. Apa yang bisa Anda simpulkan hubungan antara determinan matriks dan determinan inversnya?Tuliskan analisa Anda terhadap pertanyaan-pertanyaan di atas di buku Anda. Kemudian, amati kembali bagaimana Anda bisa dapatkan invers dari suatu matriks yang determinannya tidak nol.Untuk lebih jelasnya, untuk matriks abAcd= dengan det(A) ≠ 0 maka inversnya adalah...Coba cek hasil yang Anda dapatkan dengan cara mengalikannya dengan matriks asal, yaitu A⋅A−1 dan A−1⋅A. Apakah yang Anda dapatkan?Bagi siswa yang kreatif dan mempunyai keingintahuan yang tinggi mungkin akan timbul pertanyaan “Adakah cara lain menentukan invers suatu matriks?”
Kelas XII SMA/MA46Untuk membantu menjawab pertanyaan tersebut, mari kita lakukan kegiatan berikut.Kita misalkan matriks yang akan kita cari inversnya adalah abAcd=. Sebelum mencari inversnya, apakah syarat agar A mempunyai matriks invers? Kemudian, kita misalkan matriks inversnya adalah 1wxAyz−=. Berdasarkan informasi yang Anda dapatkan sebelumnya, hubungan antara matriks dan inversnya adalah A⋅A−1 = A−1⋅A = I. Selanjutnya, jawablah pertanyaan-pertanyaan berikut.(a)Jika Anda gunakan fakta bahwa A⋅A−1 = I, apakah yang Anda dapatkan?(b)Dari sistem persamaan tersebut, selesaikan untuk masing-masing w, x, y, dan zdalam bentuk a, b, c, dan d. (c)Apakah matriks invers yang Anda dapatkan hasilnya sama dengan matriks invers dari kegiatan sebelumnya? Sekarang Anda tentu sudah mendapatkan kesimpulan mengenai bagaimana mencari invers suatu matriks berukuran 2×2. Lalu bagaimana dengan invers matriks yang berukuran 3×3? Untuk mengetahui proses mencari invers matriks berukuran 3×3, kita perhatikan kasus matriks ukuran 2×2 terlebih dahulu untuk mendapat gambaran invers matriks yang berukuran lebih besar.Sebelumnya, amatilah proses mengutak-atik matriks yang merupakan invers matriks:Dari contoh sebelumnya diketahui bahwa matriks 4365A= mempunyai invers matriks 1532232A−−=−.Mari kita eksplorasi matriks inversnya,
MatematikaKurikulum 201347( )( )( )( )23345315 13531122642216 1432−⋅ −⋅−−==−−⋅ −⋅−( ) ( )( )( )( )( )112 1212 215 1 3145 6316 1 4++++−⋅ −⋅=×−×−⋅−⋅Sekarang perhatian kita fokuskan pada:( ) ( )( )( )( )( )112 1212 215 1 3145 6316 1 4++++−⋅ −⋅=×−×−⋅−⋅Untuk membantu proses penalaran Anda, cobalah jawab pertanyaan berikut:1.Apa makna nilai (4 × 5) − (6 × 3) bila dikaitkan dengan matriks 4365A=?2.Matriks ( )( )( )( )112 1212 215 1 316 1 4++++−⋅ −⋅−⋅−⋅ selanjutnya disebut sebagai Matriks Adjoin, bagaiamana mendapatkan matriks adjoin?Bila kita perhatikan Matriks Adjoin ( )( )( )( )112 1212 215 1 316 1 4++++−⋅ −⋅−⋅−⋅, berasal dari transpos suatu matriks, yakni matriks ( )( )( )( )112 1212 215 1 613 1 4++++−⋅ −⋅−⋅−⋅. Masih ingatkah Anda bahwa matriks ( )( )( )( )112 1212 215 1 613 1 4++++−⋅ −⋅−⋅−⋅ adalah MatriksKofaktor yang sudah dibahas pada subbab determinan?
Kelas XII SMA/MA48Dengan demikian, jika matriks 4365A= mempunyai matriks kofaktor ( )( )( )( )( )112 1212 215 1 613 1 4CA++++−⋅ −⋅=−⋅−⋅, maka Adjoinnya adalah transpos matriks kofaktor dan dinotasikan dengan C(A)t.Secara umum, jika 11122122aaAaa= maka kofaktornya adalah ( )11122122CCCACC=. Sehingga matriks adjoin dari A adalah ( )11211222()tCCAdj AC ACC==.Pada subbab determinan sudah dibahas sebelumnya mengenai definisi determinan matriks berdasarkan kofaktornya. Ingat bahwa ( )11111212detA aC aC=+atau ( )21212222detA aC aC=+Namun demikian, coba Anda periksa hasil dari 11211222aCaC+ dan 21112212aC aC+. Apakah yang Anda dapatkan?Berdasarkan hasil yang Anda peroleh di atas, apa yang Anda dapatkan jika matriks Adikalikan dengan Adjoinnya?A× Adj(A) = ...Serupa dengan matriks berukuran 2×2, coba Anda cek hasil kali matriks berukuran 3×3 dengan Adjoinnya dengan mengambil satu contoh matriks berukuran 3×3. Untuk lebih memudahkan perhitungan Anda, Anda dapat menghitung hasil operasi berikut ini.
MatematikaKurikulum 201349111112121313...aC aCaC++=212122222323...aC aCaC++=313132323333...aC aCaC++=112112221323...aCaCaC++=113112321333...aCaCaC++=dan seterusnya.Jika 111213212223313233bbbBbb bbbb= adalah sebarang matriks berukuran 3×3, dapatkan Anda membuat kesimpulan mengenai hubungan matriks B dengan adj(B)?Berdasarkan uraian tersebut, buat kesimpulan terkait bagaimana menentukan invers dari a.Matriks persegi berordo 2×2Jika matriks 11122122aaAaa= memiliki invers, invers matriksnya adalah A−1 = ...b.Matriks persegi berordo 3×3 Jika matriks 111213212223313233bbbBbb bbbb= memiliki invers, invers matriksnya adalah B−1 = ...Cek hasil yang Anda dapatkan dengan cara mengalikan matriks dengan inversnya. Matriks apakah yang Anda peroleh?Khusus untuk matriks berordo 2×2, adakah strategi paling cepat dalam menentukan invers matriks? Jika iya, bagaimana strateginya?
Kelas XII SMA/MA50Contoh 1.25Berdasarkan hasil bernalar Anda, apakah matriks-matriks tersebut memiliki invers? Berikan alasannya. Selanjutnya jika memiliki invers, tentukan inversnya.a.312614−−b. 4253−−c. 3355d. 4 2326 15 24−−−Contoh 1.26Jika diketahui matriks abAcd=,a.Tentukan syarat agar matriks A mempunyai invers?b.Bila matriks tersebut memenuhi syarat memilki invers, tentukan inversnya A−1?c.Karena invers dari suatu matriks juga merupakan matriks, bagaimana dengan nilai determinan dari inversnya?Ayo MengomunikasikanTuliskanlah kesimpulan yang Anda dapatkan terkait:a.Menentukan invers matriks berukuran 2×2. b.Menentukan invers matriks berukuran 3×3.Pertukarkan tulisan tersebut dengan teman sebangku/kelompok lainnya. Secara santun, silahkan saling berkomentar, menanggapi komentar, memberikan usul dan menyepakati ide-ide yang paling tepat.
MatematikaKurikulum 201351Latihan 1.41.Tentukan invers matriks berikut.a. 2540A−= b. 40 751 203 1B=−−2.Buatlah matriks A berordo 2×2 yang memiliki invers matriks14232A−−=−3. Gunakan matriks persegi B dengan det(B) ≠ 0 untuk menunjukkan bahwaa.(B−1) −1 = Bb.(Bt)−1 = (B−1)t4. Selidiki bahwa ( )()detdetnnKK=, untuk matriks;a.4132A=− dengan n = 4b. 2 131245 36A−=− dengan n = 2 Catatan: Didefinisikan 1,2nnK KK n−=×≥.5.Jika semua elemen pada salah satu baris matriks persegi adalah nol. Apakah matriks tersebut memiliki invers? Mengapa?6.Jika matriks persegi abAcd= dengan a, b, c, dan d adalah bilangan bulat, tentukan semua kemungkinan matriks A yang memenuhi persamaan A2 = I.7.Adakah suatu matriks yang inversnya adalah diri sendiri?8.Apa beda soal nomor 6 dan soal nomor 7?
Kelas XII SMA/MA52Subbab 1.5 Menyelesaikan Masalah Menggunakan MatriksAnda telah mempelajari materi tentang penentuan invers dari suatu matriks pada subbab sebelumnya. Ternyata materi tersebut sangat bermanfaat, yaitu sebagai salah satu cara untuk menyelesaikan sistem persamaan linear. Bagaimana matriks invers dapat dijadikan alternatif untuk menyelesaikan sistem persamaan linear? Untuk dapat menjawabnya, Anda perlu mempelajari dan melakukan kegiatan-kegiatan yang terdapat pada subbab ini.Kegiatan 1.5.1 Menyelesaikan Sistem Persamaan Linear (SPL)Contoh 1.27Pada suatu tempat parkir terdapat 84 kendaraan yang terdiri atas sepeda motor dan mobil. Setelah dihitung jumlah roda seluruhnya adalah 220. Berapakah banyaknya tiap-tiap sepeda motor dan mobil di tempat parkir tersebut? Sedikit InformasiPermasalahan tersebut merupakan permasalahan pada sistem persamaan linear. Jika x adalah banyaknya sepeda motor dan y adalah banyaknya mobil, maka dapat dibuat dua persamaan linear berikut.Pengayaan9.Diketahui A dan B adalah matriks 2x2 dan keduanya memiliki invers. Selidiki apakah berlaku:a.(AB)−1 = A−1B−1b.A−1B−1 = (BA)−110.Misalkan A matriks 2×2 yang memiliki invers. Buktikan bahwa 11AA−=
MatematikaKurikulum 201353x + y = 842x + 4y = 220Masih ingatkah Anda dengan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut?Dengan metode substitusi, eliminasi, atau dengan menggambarkan grafiknya, maka akan diperoleh x = 58 dan y = 26.Ayo MengamatiTerdapat cara lain untuk menyelesaikan SPL selain dengan menggunakan metode substitusi, eliminasi, atau dengan menggambar grafik dari SPL. Cara itu disebut dengan metode matriks. Dalam menggunakan metode matriks Anda harus mengingat kembali penentuan invers suatu matriks yang sudah dipelajari pada subbab sebelumnya.Sekarang kita ingin menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan menggunakan metode matriks.Coba perhatikan sistem persamaan linear tersebut. Apakah Anda bisa mengubah sistem persamaan tersebut ke dalam bentuk perkalian matriks? Untuk menguatkan jawaban Anda cobalah perhatikan contoh berikut ini.Contoh 1.28Sistem persamaan linear 256 9xyxy+=+=Bentuk perkalian matriksnya adalah 112569xy =
Kelas XII SMA/MA54Contoh 1.29Sistem persamaan linear 34221233x yzx yzx yz+ +=+ +=−+ +=Bentuk perkalian matriksnya adalah 1 3142 2112 313xyz = − Contoh 1.30Sistem persamaan linear 541040xyzxy zxyz++=+− =− ++=Bentuk perkalian matriksnya adalah 11151141041 10xyz −= − Setelah memperhatikan contoh-contoh tersebut, isilah tabel berikut ini.Sistem Persamaan LinearPerkalian matriks3x + 5y = 5x + 2y = 7... ... ......... ... ...... = x + 2y = 7x + 3y = 13... ... ......... ... ...... =
MatematikaKurikulum 201355Sistem Persamaan LinearPerkalian matriksx− 2y + z = 62x− 5y + z = 13x− 7y + 2z = −1... ... ... ......... ... ... ......... ... ... ...... = x + y + 2z = 8−x− 2y + 3z = 13x− 7y + 4z = 10... ... ... ......... ... ... ......... ... ... ...... = Ayo Menanya??Setelah Anda mengisi tabel di atas, coba buatlah pertanyaan tentang pengubahan sistem persamaan linear ke bentuk perkalian matriks yang memuat kata-kata “matriks koefisien variabel”, “matriks variabel” dan “matriks konstanta”.Ayo Menggali Informasi+=+Dari sekian banyak pertanyaan yang Anda buat, mungkin ada diantaranya pertanyaan-pertanyaan berikut:1.Apakah matriks konstanta dalam sistem persamaan tersebut merupakan hasil kali antara matriks koefisien variabel dengan matriks variabelnya?2.Apakah semua sistem persamaan linear dapat diubah ke bentuk perkalian matriks koefisien dengan matriks variabelnya ?Coba cek soal-soal pada tabel di atas. Kemudian buatlah beberapa (minimal 5) sistem persamaan linear dan buatlah persamaan matriksnya pada tempat berikut ini.
Kelas XII SMA/MA56Ayo MenalarDari Contoh 1.27 dan hasil pengisian tabel di atas, bisakah Anda menjelaskan bagaimana cara mengubah sistem persamaan linear menjadi bentuk perkalian matriks? Misalkan matriks koefisien = A, matriks variabel = X dan matriks konstanta = B, maka sistem persamaan linear dapat diubah menjadi bentuk perkalian matriks seperti apa?Ayo MengomunikasikanTulislah kesimpulan Anda tentang cara mengubah sistem persamaan linear menjadi bentuk perkalian matriks, kemudian tukarkan kesimpulan tersebut dengan teman sebangku.LatihanTulislah sistem persamaan linear berikut dalam bentuk persamaan matriks. 1.243414xyxy+=+=2.2332 1xyxy+=−=3.3322 2xyxy+=−=4.x + 2y + 3z = 52x + 5y + 3z = 3x + 8z = 175.x + y + 2z = ax + z = b2x + y + 3z = c
MatematikaKurikulum 201357Ayo MengamatiSebelumnya telah disimpulkan cara untuk mengubah sistem persamaan linear ke dalam bentuk perkalian matriks. Sistem persamaan linear pada Contoh 1.27 dapat dibentuk menjadi1 1842 4220xy = Kita misalkan 11,24xAXy == , 11,24xAXy == , dan 84220B=. Sehingga perkalian matriks di atas dapat kita tulis menjadi AX = B .......................................... (1)Anda tentu tahu bahwa invers dari matriks A adalah 122112−− atau bisa dituliskan sebagai 1122112A−−=−. Sekarang kita akan mempelajari bagaimana menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan menggunakan metode matriks. Sebelum Anda mempelajari metode tersebut, masih ingatkah Anda cara menyelesaikan persamaan linear 2x = 6 ? Jika Anda mengalikan kedua ruas persamaan tersebut dengan invers perkalian 2 yaitu 12, maka diperoleh12(2x) = 12(6)Jadi x = 3.
Kelas XII SMA/MA58Lakukan hal yang sama untuk persamaan (1). Kalikan kedua ruas dengan invers matriks A yaitu A-1. Apa yang anda peroleh? Tuliskan pada tempat berikut ini.Ayo Menanya??Berdasarkan pengamatan yang Anda lakukan, coba buatlah pertanyaan yang memuat kata-kata “matriks variabel”, “matriks invers koefisien variabel” dan “matriks konstanta”.Tuliskan pertanyaan Anda pada tempat berikut ini.Ayo Menggali Informasi+=+Agar Anda lebih yakin, coba lengkapi tabel berikut ini.
MatematikaKurikulum 201359No.Matriks koefisien (A)Matriks variabel (X)Matriks konstanta (B) Invers matriks koefisien (A-1)A-1AXA-1B1.1124xy842202.1213xy10133.3222xy6541 11243365−−−−−xyz11912Setelah mengalikan kedua ruas pada persamaan (1) dengan A-1 dan dari hasil pengisian tabel di atas apa yang dapat Anda simpulkan? Tuliskan kesimpulan Anda pada tempat berikut ini.Ayo MenalarPerhatikan matriks No.1 pada tabel di atas, matriks tersebut merupakan matriks untuk Contoh 1.27. Setelah itu perhatikan isi kolom A-1B yang bersesuaian, kemudian bandingkan dengan penyelesaian Contoh 1.27 sebelumnya. Apa yang dapat anda simpulkan? Lakukan hal yang sama untuk matriks untuk nomor 2, 3, dan 4.
Kelas XII SMA/MA60Berdasarkan informasi yang Anda dapatkan, coba jelaskan bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks. Untuk sistem persamaan (1), anda bisa menuliskan penyelesaiannya sebagai hasil perkalian antara matriks apa?Sekarang, coba Anda cari penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut.2x + 3y = 74x + 6y = 13Berapa determinan dari matriks A (matriks koefisien) dari SPL di atas? Bisakah Anda menentukan invers matriks A? Bisakah Anda menentukan penyelesaian dari soal tersebut? Dari beberapa pertanyaan tersebut, buatlah kesimpulan mengenai penentuan penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks. Jelaskan mengenai pengaruh nilai determinan matriks koefisien terhadap penyelesaian SPL tersebut. Tuliskan jawaban Anda pada tempat berikut ini.Ayo MengomunikasikanPresentasikan kesimpulan Anda tentang cara menyelesaikan SPL dengan matriks serta pengaruh determinan matriks terhadap penyelesaian SPL tersebut di depan kelas. Perhatikan kesimpulan yang dipresentasikan oleh teman Anda.
MatematikaKurikulum 201361Kegiatan 1.5.2 Memodelkan dan Menyelesaikan Masalah Sehari-hari yang Berkaitan dengan SPL Tiga Variabel Menggunakan Matriks Ayo MengamatiPerhatikan contoh permasalahan sehari-hari berikut ini.Contoh 1.31Suatu perusahaan taksi memiliki 3 jenis mobil taksi yaitu Jenis X, Jenis Y, dan jenis Z. Jumlah keseluruhah mobil taksi yang dimiliki adalah 100 mobil. Mobil-mobil tersebut ditempatkan di 2 pangkalan taksi yaitu pangkalan taksi A dan pangkalan taksi B. Di pangkalan taksi A ditempatkan 12 dari mobil Jenis X, 14dari mobil Jenis Y, dan 15 dari mobil jenis Z. Jumlah keseluruhan mobil taksi di pangkalan A adalah 30. Di pangkalan taksi B ditempatkan 12 dari mobil Jenis X, 12dari mobil Jenis Y, dan 15 dari mobil jenis Z. Jumlah keseluruhan mobil taksi di pangkalan B adalah 35. Sedangkan mobil taksi lainnya melayani penumpang. Tentukan banyaknya masing-masing jenis mobil taksi yang dimiliki.Contoh 1.31 di atas merupakan contoh sistem persamaan linear tiga variabel. Sekarang kita ingin menyelesaikan sistem persamaan linear di atas dengan menggunakan metode matriks.Misal x adalah banyaknya mobil jenis X, y adalah banyaknya mobil jenis Y, dan z adalah banyaknya mobil jenis Z. Jumlah keseluruhan mobil taksi yang dimiliki adalah 100 sehingga dapat dinyatakan sebagai berikut x + y + z = 100
Kelas XII SMA/MA62Banyaknya taksi di pangkalan A adalah 30 dan di pangkalan B adalah 35 sehingga banyaknya taksi yang melayani penumpang adalah 100 – 65 = 35. Sistem persamaan linear yang dapat dibentuk dari Contoh 1.31 adalah sebagai berikut11130245x yz++=11135225x yz++=1635410yz+=Masih ingatkah Anda dengan penyelesaian sistem persamaan linear tersebut?Ayo Menanya??Berdasarkan pengamatan yang Anda lakukan, diharapkan muncul pertanyaan berdasar Contoh 1.31. Tuliskan pertanyaan Anda pada tempat berikut ini.Ayo Menggali Informasi+=+Dalam menyelesaikan sistem persamaan linear, akan muncul pertanyaan-pertanyaan sebagai berikut:1.Apakah matriks yang dihasilkan dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel tersebut memiliki determinan yang tidak nol?2.Apakah matriks yang dihasilkan dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel tersebut memiliki matriks invers?3.Apakah SPL dengan tiga variabel tersebut dapat diselesaikan?
MatematikaKurikulum 201363Ayo MenalarBerdasarkan informasi yang Anda dapatkan, coba jelaskan bagaimana cara menyelesaikan sistem persamaan linear tiga variabel dengan menggunakan matriks. Sekarang, coba Anda cari penyelesaian dari sistem persamaan linear dengan tiga variabel dari Contoh 1.31. Tuliskan penyelesaian SPL dari Contoh 1.31 (beserta caranya) pada tempat yang telah disediakan berikut ini.Ayo MengomunikasikanBerdasarkan hasil mengamati dan menyelesaikan Contoh 1.31, tuliskan kesimpulan Anda tentang cara memodelkan dan menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan SPL tiga variabel. Diskusikan hasil yang Anda temukan dengan teman sekelompok, kemudian tukarkan hasil diskusi tersebut dengan kelompok lain dan beri komentar terhadap hasil kelompok lain. Setelah Anda dapat menyelesaikan sistem persamaan linear pada Kegiatan 1.5.1 dan Kegiatan 1.5.2, Anda telah dapat menentukan bilamana suatu masalah dalam bentuk sistem persamaan linear dapat dicari selesaiannya atau tidak.
Kelas XII SMA/MA64Latihan 1.51.Lusi mempunyai uang Rp150.000,00 lebihnya dari uang Sinta. Jika tiga kali uang Lusi ditambah dua kali uangnya Sinta jumlahnya adalah Rp950.000,00. Tentukan besar masing-masing uang Lusi dan Sinta!2.Irfan dan Roni bekerja di pabrik kaos bagian menyablon logo. Irfan dapat menyablon 300 kaos setiap jam, sedangkan Roni dapat menyablon 200 kaos setiap jam. Lama waktu mengerjakan Irfan dan Roni tidak sama. Jumlah jam kerja Irfan dan Roni adalah 50 jam dengan banyak kaos yang telah disablon sebanyak 12.400 kaos. Berapa lama kerja Irfan dan Roni? 3.Ingat kembali bahwa persamaan ax + by = c dengan a, b, dan c adalah konstanta menyatakan persamaan garis lurus. Carilah penyelesaian sistem persamaan linear berikut. 2x – 3y = 6x + 2y = 3Kemudian gambarlah garis lurus dari masing-masing persamaan linear pada satu diagram. Apakah yang dapat disimpulkan tentang koordinat titik potong kedua garis dengan penyelesaian sistem persamaan linear di atas?4.Diketahui sistem persamaan linear 2x – 3y = 62x – 3y = 9a)Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks.
MatematikaKurikulum 201365b)Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi. c)Metode manakah yang lebih cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas.d)Gambarlah garis lurus untuk tiap-tiap persamaan linear pada satu diagram.e)Apakah yang dapat disimpulkan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan kedudukan kedua garis untuk setiap sistem persamaan.5.Diketahui sistem persamaan linear 2x – 3y = 64x – 6y = 12a)Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode matriks.b)Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan metode eliminasi. c)Metode manakah yang lebih cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas.d) Gambarlah garis lurus dari tiap-tiap persamaan linear pada satu diagram.e) Apakah yang dapat disimpulkan tentang penyelesaian sistem persamaan linear dengan kedudukan kedua garis untuk tiap-tiap sistem persamaan.f)Berdasarkan soal no 4 – 5 (e) buatlah kesimpulan tentang banyaknya penyelesaian sistem persamaan linear.g)Berdasarkan soal no 4 dan 5, buatlah kesimpulan bilamana metode matriks tidak dapat digunakan.
Kelas XII SMA/MA666.Pada saat ingin menonton film ke bioskop, Ida, Ahmad, dan Putra masing-masing membeli snack. Ida membeli dua cokelat, satu minuman dan dua bungkus popcorn dengan membayar Rp29.000,00. Ahmad menghabiskan Rp19.000,00 karena membeli satu cokelat , dua minuman dan satu bungkus pop corn. Sedangkan Putra membeli dua minuman dan tiga bungkus pop corn dengan menghabiskan Rp33.000,00. Berapa harga dari tiap-tiap snack? 7.Sudut suatu segitiga yang berukuran sedang adalah 300 lebih besar daripada sudut yang terkecil. Sudut yang terbesar 100 lebih besar daripada sudut sedang. Berapakah besar tiap-tiap sudut? 8.Diberikan penyelesaian sistem persamaan linear adalah x = 12 dan y = –23. Susunlah 3 sistem persamaan linear yang masing-masing terdiri atas 2 persamaan linear dengan dua variabel dan penyelesaiannya adalah nilai x dan y di atas!Untuk soal no. 9 – 10, carilah solusi persamaan linear dengan menggunakan matriks.9. 2x – 3y + z = –9 10.x + y – z = – 4 . 2x + y – z = 92x + 4y + 2z = 10.x + y + z = 5x + 3y + z = 411. Diketahui sistem persamaan linear 2x + 3y + z = 0x + 2y + 3z = 03x + 2y + z = 0a)Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks! b)Apakah perbedaan sistem persamaan linear di atas dengan sistem persamaan linear pada no 9 – 10?
MatematikaKurikulum 20136712.Diketahui sistem persamaan linear x + 2y + 2z = – 32x – y + 2z = 93x + y + 4z = 8a.Carilah penyelesaiansistem persamaan linear dengan menggunakan matriks.b.Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi. c.Metode manakah yang lebih cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas. d.Apakah yang dapat disimpulkan tentang penyelesaian sistem persamaan linear di atas.e.Bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear di atas jika semua bilangan di ruas kanan diganti dengan 0.13.Diketahui sistem persamaan linear –2x – z = – 3 –x + y + z = –1 –6x + 2y = –8a)Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan matriks.b)Carilah penyelesaian sistem persamaan linear dengan menggunakan eliminasi. c)Metode manakah yang lebih cocok untuk menyelesaikan sistem persamaan linear di atas.d)Apakah yang dapat disimpulkan tentang penyelesaian sistem persamaan linear.e)Bagaimana penyelesaian sistem persamaan linear di atas jika semua ruas kanan diganti dengan 0.f)Berdasarkan hasil yang diperoleh dari soal 9 – 13(e), apakah yang dapat disimpulkan tentang banyaknya penyelesaian sistem persamaan linear.
Kelas XII SMA/MA6814.Suatu rangkaian listrik terdiri dari dua baterai (6 V dan 9 V) dan tiga resistor (47 ohm, 470 ohm, dan 280 ohm). Baterai-baterai tersebut menghasilkan aliran arus listrik pada rangkaian. Misal x, y dan zmerepresentasikan arus dalam ampere yang mengalir melewati masing-masing resistor. Voltasi yang melewati masing-masing resistor adalah arus listrik dikalikan dengan resistansinya ( V= IR). Hal tersebut menghasilkan dua persamaan loop pada rangkaian sebagai berikut:47x + 470y = 6280z + 470y = 9Arus listrik yang mengalir ke masing-masing titik pada rangkaian harus mengalir keluar. Jadi, di persimpangan A, x + z – y = 0. Tentukan arus yang mengalir melalui masing-masing resistor! Axzy6V9V47Ω470Ω280ΩSumber: Discovering Algebra, an Investigative Approach15.Carilah penyelesaian sistem persamaan berikut 2x + 2z = 13x – 1y+ 4z = 76x + 1y – 1z = 2
MatematikaKurikulum 20136916.Pada suatu taman ria ada 3 jenis wahana bermain: Jolly, Adventure dan Thrill. Karcis masuk gratis jika membeli satu paket tiket, termasuk 10 tiket untuk tiap-tiap wahana. Atau Anda dapat membayar Rp50.000,00 untuk karcis masuk dan kemudian membeli tiket untuk masing-masing wahana secara tersendiri. Noah, Rita, dan Carey memutuskan untuk membayar karcis masuk dan membeli tiket secara individu. Noah membayar Rp195.500,00 untuk 7 wahana Jolly, 3 wahana Adventure dan 9 wahana Thrill. Rita membayar Rp130.000,00 untuk 9 wahana Jolly, 10 wahana Adventure. Carey membayar Rp249.500,00 untuk 8 wahana Jolly, 7 wahana Adventure dan 10 wahana Thrill. ( harga tersebut belum termasuk tiket masuk)a.Berapa harga tiap-tiap wahana?b.Berapa yang harus dibayar untuk satu paket tiket lengkap?c.Apakah Noah, Rita dan Carey sebaiknya membeli satu paket tiket lengkap?Sumber: Discovering Algebra, an Investigative Approach17.Tomi dan Budi secara bersamaan membutuhkan waktu 12 menit untuk mencuci sepeda motor. Budi dan Benny secara bersamaan membutuhkan waktu 15 menit untuk menyelesaikan pekerjaan yang sama. Sedangkan Tomi dan Benny secara bersamaan membutuhkan waktu 20 menit untuk mencuci sepeda motor yang sama. Tentukan berapa menit yang diperlukan oleh Tomi, Budi, dan Benny untuk mencuci sepeda motor yang sama secara bersama-sama.
Kelas XII SMA/MA7018.Carilah himpunan solusi sistem persamaan berikut141618xyxyyzyzxzxz=+=+=+Petunjuk : Tulis 14xyxy=+ sebagai 4xyxy+=. Demikian juga dengan kedua persamaan lainnya. 19.Diberikan penyelesaian sistem persamaan linear adalah x = 2, y = – 3, dan z = – 2. Susunlah 3 sistem persamaan linear dengan setiap sistem terdiri atas 3 persamaan linear dengan 3 variabel dan penyelesaiannya adalah nilai x, y dan z di atas. 20.Susunlah suatu sistem persamaan linear dengan 3 persamaan linear dan 3 variabel yang memiliki tak hingga banyaknya penyelesaian.21.Carilah penyelesaian sistem persamaan berikut sin α + cos β + 2 tan γ = 2 sin α – 2 cos β + tan γ = 32 sin α – cos β – 2 tan γ = 3dengan 0 ≤ α ≤ 2π, 0 ≤ β ≤ 2π , 0 ≤ γ ≤ 2π.